Verallgemeinerung auf beliebige Anzahlen

Betrachtet man nun den Fall, daß n Geschworene eine Entscheidung fällen sollen - weiter unter der exemplarischen Voraussetzung, daß eine richtige Entscheidung mit $70 \%$er Wahrscheinlichkeit gefällt wird. Dabei muß man wie oben alle günstigen Fälle sammeln und ihre Wahrscheinlichkeiten ausrechnen. Die Wahrscheinlichkeit einer einzelnen Komposition $\kappa$, die k richtige Entscheidungen beinhaltet, beträgt:

$$W(\kappa) {n \choose k} \cdot 0,7^k \cdot 0,3^{n - k}$$ = (4)

Wobei ${n \choose k}$ den Binominalkoeffizienten darstellt, der sich folgendermaßen errechnen läßt:

$${n \choose k} \frac{n!}{k!(n - k)!}$$ = (5)

Der Binomialkoeffizient ergibt sich dabei aus dem folgenden Gedankengang: Betrachtet man alle möglichen Fälle für ein Ereignis, so muß die Summe ihrer Wahrscheinlichkeiten 1 ergeben. Also ist die Wahrscheinlichkeit $\kappa_1$, daß ein Geschworener ein falsches oder ein richtiges Urteil fällt, trivialerweise:

$$W(\kappa_1) = 0,7 + 0,3$$ = 1 (6)

Wegen der Multiplikation unabhängiger Ereignisse (s.o.) gilt für n Geschworene:

(0,7 + 0,3)ⁿ = 1ⁿ = 1 (7)

für den im obigen Beispiel verwendeten Fall n=3 ergibt sich, wie bereits errechnet:

$$0,7^3 + 3 \cdot 0,7^2 \cdot 0,3 + 3 \cdot 0,7 \cdot 0,3^2 + 0,3^3$$ (0,7 + 0,3)³ = (8)

= 1 (9)

Die Vorfaktoren, die sich aus der Sortierung gleichnamiger Koeffizienten für eine Komposition ergeben (im Beispiel also 1, 3, 3 und 1), sind die oben genannten Binomialkoeffizienten².

Um nun die Wahrscheinlichkeit für ein richtiges Urteil von n Geschworenen zu errechnen, muß man wie im Beispiel die Fälle aufsummieren, in denen die Exponenten der Wahrscheinlichkeit für eine richtige Entscheidung größer sind als die für eine falsche Entscheidung. Also:

$$W(\kappa) \sum^n_{k > \frac{n}{2}} {n \choose k} \cdot 0,7^k \cdot 0,3^{n - k}$$ = (10)