Differenzier- und Integrierschaltungen

Problem: Man möchte die Ableitung oder das Integral einer bestimmten Spannungskurve darstellen.

Da im Mathematik- und Physikunterricht der Oberstufe der Begriff der Ableitung und des Integrals einer Funktion von entscheidender Bedeutung ist, dürfte eine grafische Darstellung zu diesem Thema mit einfachen elektronischen Bauteilen ein interessanter Versuch sein.
Wir schließen dazu einen Frequenzgenerator an eine der in Abb. 4 dargestellten Schaltungen an.

Abb. 4 Differenzier- und Integrierschaltung

Betrachtet man nun U₀ in der Fourierdarstellung, so gilt:

$$\sum_{k=0}^\infty U_k e^{i(\omega_k t + \delta_k)}$$ U₀ = (14)

$$\Rightarrow \int U_0 dt \sum_{k=0}^\infty U_k \frac{1}{i\omega_k} \cdot e^{i(\omega_k t + \delta_k)}$$ = (15)

Berechnet man nun über die komplexe Fortsetzung des Ohmschen Gesetz die Spannung am Kondensator U_C, so ergibt sich nach einigen Umformungen:

$$- \sum_{k=0}^\infty \frac{U_k e^{i(\omega_k t + \delta_k - arctan R\omega_k C)}}{\sqrt{1 + R^2 \omega_k^2 C^2}}$$ U_C = (16)

womit sich für $R \omega_1 C >> 1$ ($\omega_1$: Kreisfrequenz der langsamsten Teilschwingung) ergibt:

$$- \sum_{k=0}^\infty \frac{ i U_k e^{i(\omega_k t + \delta_k)}}{R \omega_k C}$$ U_C = (17)

$$\frac{1}{RC} \sum_{k=0}^\infty \frac{ U_k e^{i(\omega_k t + \delta_k)}}{i\omega_k}$$ = (18)

$$\frac{1}{RC} \int U_0 dt$$ = (19)

Damit stellt (bei geeigneter Wahl von R und C) U_C das zeitliche Integral der Eingangsspannung U₀ dar, was sich mit einem Oszilloskop experimentell verdeutlichen läßt.
Analog gilt für die Integrierschaltung:

$$\frac{L}{R} \frac{d U_0}{dt}$$ U_L = (20)

womit sich in obiger Schaltung die Ableitung der Spannungsfunktion U₀ durch Abgriff von U_L auf dem Oszilloskop darstellen läßt.